Uno dei paradosso di
Zenone, quello su Achille e la Tartaruga, è senza alcun dubbio uno dei miei preferiti.
Questo paradosso è un esercizio di logica molto impegnativo, infatti se lo si affronta senza utilizzare tecniche matematiche (tecniche la cui validità in pochi sarebbero comunque capaci di dimostrare), mostra tutto l'acume per i fenomeni naturali di Zenone.
Questo paradosso sostiene che se Achille pié veloce parte con uno svantaggio rispetto a una tartaruga, non la raggiungerà mai.
Chiaramente questo è assurdo, sappiamo tutti molto bene che partendo da dietro, raggiungeremo sempre chi ci è davanti se andiamo più veloci di lui, è solo questione di tempo. Ed è proprio sul tempo che si basa questo paradosso.
Vediamolo più in dettaglio seguendo il ragionamento di Zenone:
- Supponiamo che Achille parta indietro rispetto alla tartaruga di 100 metri.
- Dopo 10 secondi, quando Achille avrà percorso 100 metri, la tartaruga nella sua lentezza avrà percorso diciamo 1 metro(lo so, è una tartaruga veloce).
- Pertanto la situazione ora è questa, la tartaruga è avanti di 1 metro rispetto ad Achille. Situazione simile a quella iniziale.
- Come prima , Achille percorrerà il metro che lo separa dalla tartaruga e questa avrà però a sua volta percorso un centimetro. Questa sarà la situazione dopo un decimo di secondo.
- La situazione è quella di partenza, sono solo diminuite le distanze. E' immediato constatare che ogni volta che si reitera il ragionamento appena fatto, la tartaruga avrà la sua distanza da Achille ridotta a un centesimo di quella precedente.
Come si vede Achille non raggiungerà mai la tartaruga, questo perchè per quanto si avvicini, la distanza diventerà sempre più piccola ma non diventerà mai zero.
Un ragionamento che non fa una piega. Questo è uno di quei casi in cui la logica arriva ad una conclusione sbagliata. Ma badate, non è un errore della logica.
Continuate a ragionarci se volete, altrimenti continuate a leggere per conoscere la 'illogica' ma giusta spiegazione dello strano fenomeno.
Spiegazione:
Se scriviamo il tempo trascorso durante le iterazioni vediamo che aumenteà sempre di più e varrà:
T = 10 secondi + 0,1 secondo + 0,001 secondo + .....
O per comodità:
T = 10 + 1/10 + 1/1000 + .... e continuate ad aggiungere due zeri ad ogni passaggio perchè il tempo che ci mette a percorrere distanze sempre più piccole è chiaramente sempre più piccolo
L'errore di Zenone e di tutti i pensatori di quell'epoca e delle epoche fino alla fine del primo millennio dopo Cristo (si ricordi che Zenone risale a svariati secoli prima di Cristo), era pensare che sommando infiniti intervalli di tempo, cioè mettendoli in fila uno dopo l'altro senza smettere mai, si ottenesse un tempo senza fine (infinito appunto!).
Se guardate però il primo modo di scrivere il tempo T dopo ogni interazione vedete che aumenta si, ma in maniera particolare:
1° Passo: T = 10 secondi
2° Passo: T = 10,1 secondi
3° Passo: T = 10,101 secondi
4° Passo: T = 10,10101 secondi
5° Passo: T = 10,1010101 secondi
...
e così via. Quello che otteniamo, è un numero perodico, cioè che non finiremo mai di scrivere ma che è evidente ha un valore ben definito. Come vediamo, pur sommando intervalli di tempo in continuazione, la parte iniziale del numero non cambia mai,
E infatti vediamo che questo tempo T si avvicina sempre più alla frazione: 100 / 9,9 . Provate pure con la calcolatrice se non ci credete.
Al giorno d'oggi esiste un metodo più pratico per calcolarlo, infatti se Achille percorre 100 metri in 10 secondi, la sua velocità è di 10 metri al secondo. Mentre la tartaruga percorre 1 metro in 10 secondi, cioè 0,1 metri al secondo. Pertanto abbiamo la semplice formula:
T = (distanza tra Achille e la Tartaruga) / ( Velocità di achille - Velocità Tartaruga )
Che stranamente fa proprio: T = 100 / ( 10 - 0,1 ) = 100 / 9,9
Approfondimento matematico (per chi ci capisce di matematica:
Dal punto di vista metematico si spiega in altro modo. Dati infatti:
T_0, tempo che achille impiega a raggiugnere la tartatuga al primo passo
D, distanza che li separava all'inizio
d, distanza che ha percorso la tartaruga mentre Achille percorreva la distanza D
Considerando che il tempo trascorso ad ogni passo, cala rispetto al precedente di un fattore K = D/d (nel caso precedente 1/100).
Potremo calcolare il tempo necessario ad ogni passo i-esimo come: T_i = T_0 / K ^ i
Il tempo totale sarà dato dalla serie T = SUM(T_i) =
= SUM(T_0 / ( K ^ i) ) =
= T_0 * SUM(K ^ -i) =
Dove SUM indica la somma degli elemti tra parentesi considerando i che parte da 0 e arriva all'infinito
x ^ y indica x elevato alla potenza y
Questa è una serie molto conosciuta in matematica con il nome
'serie geometrica'.
La teoria ci dice che se K è > 1 (cioè se D > d, e quindi Achille va più veloce della tartaruga), la somma di infiniti termini (K ^ -i) è uguale a 1 / ( 1 - d / D ) = D / (D - d)
Quindi vediamo che: T = T_0 * D / (D - d) che è l'equivalente della formula di prima con le velocità, infatti considerando che la velocità V di Achille è:
V = D / T_0
E quella della tartaruga è:
v = d / T_0
Otteniamo che:
T = T_0 * D / (D - d) = D / (D/T_0 - d/T_0) =
= D / (V - v)
Che è la stessa formula scritta prima.
Buona filosofia e buona matematica!!!!!!
CMDR
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